Findes tal virkelig? Filosofi, historie og formel konstruktion

Start » Kultur » Findes tal virkelig? Filosofi, historie og formel konstruktion

Når vi bruger tal til at fortælle klokken, betale i supermarkedet eller tjekke vores bankkonto, tager vi dem for givet, som om de var lige så virkelige som vores husnøgler. Men hvis vi tænker grundigt over det, bliver tingene mere komplicerede: I hvilken forstand "eksisterer" tal egentlig?Er de noget, vi opdager, ligesom planeterne, eller noget, vi opfinder, ligesom personerne i en roman?

Denne debat blander filosofi, historie og matematik på en ret fascinerende måde. Gennem århundreder er der blevet foreslået forskellige svar: fra dem, der mener, at tal er en del af en slags "abstrakt verden", der er uafhængig af os, til dem, der fastholder, at de ikke er andet end symbolske værktøjer, som vi har skabt til tælling, måling og ræsonnement. Undervejs dukker ideer som Peanos aksiomer, mængdelære, den formelle konstruktion af naturlige, heltallige, rationelle, irrationelle og reelle tal, og endda de berømte begrænsninger opdaget af Gödel, op.

Hvad betyder det, at et tal "eksisterer"?

Før vi dykker ned i formler og aksiomer, er det værd at præcisere, hvad i alverden vi mener med "eksistens". Eksistensen af ​​en tabel er ikke det samme som eksistensen af ​​Sherlock Holmes eller eksistensen af... et tal som 24Bordet er et fysisk objekt; Holmes er en fiktiv, men veldefineret karakter; de 24 derimod fylder ikke, vejer ingenting og kan ikke opbevares i en skuffe.

En måde at gribe problemet an på, som stammer fra Platon, hævder, at tal er abstrakte enheder, der lever i et ikke-fysisk domæneDe er ikke lavet af materie, men de er lige så "virkelige" som retfærdighed eller skønhed i platonisk filosofi. Fra dette perspektiv opfinder matematikere ikke tal, men opdager dem snarere: tallet 24 var "der", selvom ingen havde tænkt på det.

Andre filosoffer og matematikere argumenterer for noget andet: tal vil hellere symboler og konceptuelle konstruktioner, som vi udvikler at modellere verden. De ville ikke eksistere uden for vores teorier og konventioner, selvom når disse regler først er etableret, ville de matematiske resultater være så rigide, som vi gerne ville. I denne tilgang er 24 resultatet af et system af symboler og operationer, som vi er blevet enige om, ikke en del af et uafhængigt matematisk univers.

Der er også interessante mellemforslag: nogle forfattere argumenterer for, at et tal er en slags abstrakt objekt med den ejendommelige egenskab, at "hvis det kunne eksistere, ville det eksistere"Med andre ord behøver et begreb kun at være muligt og veldefineret for at have en bestemt form for logisk eller matematisk eksistens. Denne måde at tale på tillader os at inkludere ikke kun tal, men også mængder, arealer, funktioner, geometriske figurer og mange andre enheder, som vi bruger dagligt i matematik.

Fra begge disse synspunkter er det underliggende problem det samme: Hvordan adskiller eksistensen af ​​et tal sig fra eksistensen af ​​en fiktiv karakter?Alle ved, hvad tallet 5 er, og alle ved, hvem Sherlock Holmes er, men vi tilskriver dem ikke den samme slags virkelighed. Diskussionen, langt fra at være afgjort, rejser normalt flere spørgsmål, end den besvarer.

Tal, symboler og betydning: hvad er et "2" egentlig?

Hvis vi fjerner det, vi tager for givet, og ser objektivt på tallene, er det første, vi ser skrevne symboler eller lyde, når de udtales"2'eren", som vi skriver på papir, "toeren", som vi siger højt, eller det romerske "II", er ikke selve tallet, men repræsentationer.

Et symbol er i sig selv et simpelt streg eller en lyd uden indhold. Det, der giver det betydning, er en kollektiv aftale: Vi besluttede, at dette streg repræsenterer en mængde, en orden, et målLigesom med bogstaverne i alfabetet, som ikke betyder noget i sig selv, men kombineres som ord, som vi forbinder med ideer, ting eller handlinger.

Dette symbolske perspektiv afslører noget vigtigt: Der er intet "magisk" ved tals konkrete formVi kunne bruge helt forskellige symboler, og så længe vi var enige om de samme regler og betydninger, ville matematik stadig fungere. Faktisk har der gennem historien været mange talsystemer med helt forskellige symboler og regler, og alligevel har de alle tjent til at tælle, måle og beregne.

Den daglige brug af tal går dog langt ud over blot at skrive dem ned: Tallenes kraft bliver tydelig, når vi arbejder med dem.Addition, subtraktion, multiplikation, division, opløftning af potenser… Alle disse operationer giver os mulighed for at modellere virkelige fænomener: fra at dividere en kage til at designe et GPS-navigationssystem eller beregne dosis af en vaccine.

Netop fordi matematik ligger til grund for næsten al moderne teknologi, blev matematikere, især fra det 19. århundrede og fremefter, tvunget til at at definere med maksimal præcision, hvad de forstod ved "tal"Det var ikke nok blot at sige "det er det, vi bruger til at tælle"; en formel definition var nødvendig for at undgå modsigelser og give mulighed for at bygge hele teorien med sikkerhed.

Findes der uendelige tal, eller er det heller ikke så tydeligt?

Et af de mest forvirrende spørgsmål, når man diskuterer tals eksistens, er temaet uendelighedVi er vant til at sige, at der er uendeligt mange naturlige tal: 0, 1, 2, 3… og så videre. Men hvis vi accepterer dette, opstår der nogle kuriøse spørgsmål.

For eksempel: Hvis vi tænker på "sættet af alle tal" og ønsker at vælge et "tilfældigt", hvad er så sandsynligheden for at få et 5'er? Intuitivt kunne vi sige noget i retning af 1 divideret med uendelighed, hvilket ville virke som nulOg hvis sandsynligheden er nul, kunne man være fristet til at sige, at 5 "ikke optræder" i den mængde, hvilket lyder absurd, fordi 5 tydeligvis er der.

Denne type ræsonnement illustrerer sammenstødet mellem hverdagens intuitioner om uendelighed og en stringent måde, hvorpå sandsynlighed og uendelige mængder behandles i matematikI målteori og sandsynlighedsteori betyder noget, der har nul sandsynlighed, ikke, at det er umuligt; det indikerer blot, at dets "vægt" inden for et uendeligt kontinuum er ubetydelig. Med andre ord er ideen om, at "nul sandsynlighed = ikke eksisterer", ikke korrekt i matematik.

Herfra opstår et andet, mere filosofisk forslag: måske er tal ikke "givet" som en fuldstændig uendelighed, men snarere Vi genererer dem trin for trin, fremskridt uden grænser, men uden at nå en fuldendt uendelighedMed andre ord ville tallene potentielt være uendelige (vi kan altid blive ved med at lægge 1 til), men der ville ikke være en "total" af dem alle som noget lukket.

Denne position forbinder sig med forestillingen om naturlige tal som objekter, der konstrueres ved succession (0, derefter dens efterfølger, derefter efterfølgerens efterfølger osv.), hvilket fører os til den berømte Peano-aksiomer mængdelære som det formelle grundlag for moderne matematik.

Fra ingenting til nul: mængder, tomt rum og naturlige tal

For at kunne konstruere de naturlige tal stringent, brugte mange matematikere i det 19. århundrede et fælles sprog: SætteoriIdeen er enkel i udseende: vi arbejder med "sæt" (samlinger) og "elementer" (hvad der tilhører disse samlinger) og giver et par grundlæggende aksiomer om, hvordan de opfører sig.

Et af de grundlæggende aksiomer er udvidelsen: To mængder er lige store, hvis de har præcis de samme elementerEn anden, specifikationen, tillader os at danne delmængder ud fra en betingelse: givet en mængde A og en egenskab T, eksisterer der mængden af ​​alle elementer i A, der opfylder T.

Med disse værktøjer kan vi definere noget centralt: tomt sæt, som er mængden uden elementer. Den kan præsenteres som mængden af ​​alle x i A, således at x ≠ x (en umulig betingelse), så ingen kommer med i den klub. Denne mængde kaldes normalt 0 og bliver hjørnestenen i den formelle konstruktion af de naturlige tal.

Derfra kan vi "navngive" de første tal som bestemte mængder: vi kalder det tomme sæt 0, mængden der kun indeholder 0 kalder vi 1, mængden der indeholder både 0 og 1 kalder vi 2, og så videre. Hvert tal er konstrueret som et sæt der samler til alle ovenstående talDenne måde at kode naturlige tal på (ligner Freges forslag og senere von Neumanns) gør det muligt at relatere "mindre end"-ordenen til inkluderingen af ​​​​sæt.

For at komme videre har vi brug for foreningsaksiomet: givet en samling af mængder, findes der en mængde, der indeholder alle elementer, der tilhører mindst én af dem. Og vi definerer også efterfølger til et sæt A som A+ = A ∪ {A}. Det vil sige, at vi lægger selve mængden til som et nyt element, hvilket giver os mulighed for at gå "op" tal for tal.

Dette introducerer konceptet om efterfølgersætEn mængde S er en efterfølgermængde, hvis den indeholder 0, og når den indeholder et element A, indeholder den også dens efterfølger A+. Et nøgleaksiom siger, at der findes mindst én efterfølgermængde. Hvis vi tager skæringspunktet mellem alle mulige efterfølgermængder, får vi den mindste mængde, der indeholder dem alle: det er netop her, mængden af ​​efterfølgere er "indlejret". naturlige tal, ℕ.

Peanos aksiomer: at sikre, at 1 + 1 = 2 ikke er så trivielt

Når vi identificerer ℕ som den minimale mængde, der indeholder 0 og er stabil ved succession, kan vi studere dens egenskaber. Giuseppe Peano formulerede en meget kompakt liste over aksiomer i slutningen af ​​det 19. århundrede, der indfanger essensen af ​​​​naturlige tals opførsel.

I en typisk version, startende fra 1 i stedet for 0, angiver Peanos aksiomer i store træk følgende: for det første, 1 er et naturligt talFor det andet har ethvert naturligt tal en efterfølger, som også er et naturligt tal. For det tredje har intet naturligt tal 1 som sin efterfølger (eller, i en anden formulering, er 0 ikke efterfølgeren til noget naturligt tal). For det fjerde, hvis et sæt af naturlige tal indeholder 1 og er afsluttet med en sekvens, så indeholder det alle naturlige tal: dette er induktionsprincippetFor det femte, hvis to tal har den samme efterfølger, så er de to tal lige store.

Disse aksiomer, selvom de virker formelle og noget tørre, omfatter ideer, vi har brugt ubevidst siden barndommen. For eksempel giver induktion os mulighed for at bevise egenskaber af typen "alle naturlige tal opfylder X" ved at bevise, at X er gyldigt for den første Og hvis det gælder for ét tal, så gælder det også for dets efterfølger. Det er en slags logisk dominoeffekt.

Fra disse aksiomer udledes grundlæggende egenskaber ved naturlige tal, såsom at Der er intet tal, hvis efterfølger er 0eller at "efterfølger"-operationen er injektiv (hvis to tal har den samme efterfølger, er de det samme tal). De giver os også mulighed for at karakterisere ℕ som den eneste mængde, der opfylder visse kombinerede betingelser for succession og induktion.

Det mest interessante er, at man, ud fra denne logiske ramme og begrebet efterfølger, stringent kan konstruere de sædvanlige aritmetiske operationer: addition, multiplikation og potenser, og demonstrere deres klassiske egenskaber (kommutativitet, associativitet, eksistens af neutrale elementer osv.) uden at appellere til "intuitivt er det sådan".

Sådan konstruerer du sum, produkt og potenser over ℕ

Når vi accepterer Peanos aksiomer og har mængden ℕ veldefineret, kan vi spørge os selv: hvordan definerer vi præcist operationer som addition uden at tage dem for givet? Til dette bruger vi et meget kraftfuldt værktøj: Gentagelsesteorem, som garanterer eksistensen og entydigheden af ​​visse funktioner defineret trin for trin på de naturlige tal.

Ideen er som følger: hvis vi har en mængde X, et begyndelseselement a i X og en funktion f: X → X, sikrer sætningen, at der findes en unik funktion u: ℕ → X, således at u(0) = ayu(n+) = f(u(n)) for alle naturlige tal n. Det vil sige, vi kan konstruere u ved at anvende f igen og igen startende fra a, og der vil ikke være to forskellige måder at gøre det på, der respekterer denne definition.

Ved at anvende denne idé på de naturlige tal, kan vi definere summen af ​​et fast tal m med et hvilket som helst n. Vi tager X = ℕ, a = m og en funktion s: ℕ → ℕ, der afbilder hvert n til dets efterfølgende n+. Derefter giver rekursionssætningen os en funktion S_m: ℕ → ℕ, med S_m(0) = m og S_m(n+) = s(S_m(n)). Vi fortolker denne funktion som summen m + nDet vil sige, vi definerer S_m(n) = m + n.

Med denne formelle definition bliver noget så almindeligt som 1 + 1 til en lille kæde af anvendelser: 1 + 1 = S_1(1) = S_1(0+) = s(S_1(0)) = s(1) = 2Det er ikke fordi matematikere ikke ved, at 1 + 1 er lig med 2, det er fordi de ønsker at retfærdiggøre, hvorfor denne lighed er uundgåelig inden for det aksiomatiske system.

Ud fra denne definition kan man bevise egenskaber som at 0 fungerer som et identitetselement for addition (m + 0 = my, 0 + m = m for alle m), at addition er kommutativ (a + b = b + a) og det er også associerende ((a + b) + c = a + (b + c)). Alle disse beviser er baseret på induktionsprincippet og efterfølgerens adfærd.

Produktet defineres på lignende måde. Vi fastsætter et tal m, vi tager en funktion P_m: ℕ → ℕ således at P_m(0) = 0 og P_m(n+) = S_m(P_m(n)). Vi fortolker P_m(n) som m × nSåledes udvikles 1 × 2 for eksempel som P_1(2) = P_1(1+) = S_1(P_1(1)) = S_1(1) = 2. Derefter demonstreres dens egenskaber, ved hjælp af induktion igen: kommutativitet, associativitet, og at 1 er produktets identitetselement.

Potenser konstrueres ved at tage et yderligere trin: vi definerer E_m: ℕ → ℕ med E_m(0) = 1 og E_m(n+) = P_m(E_m(n)), og vi skriver E_m(n) = m^n. Ud fra denne definition kan identiteter som f.eks. m^(n + k) = m^n × m^k, igen ved hjælp af induktionsprincippet og produktets allerede påviste egenskaber.

Hele denne proces, omend formel og noget teknisk, illustrerer, at den elementære aritmetiks opbygning ikke er "i luften", men understøttet af et par meget klare aksiomer og en håndfuld logiske argumenterFra dette perspektiv betyder "eksistensen" af naturlige tal, at der er en model (for eksempel mængder konstrueret ud fra den tomme mængde), der opfylder disse aksiomer.

Fra naturlige tal til heltal, rationelle og irrationelle tal

Når de naturlige tal først er fastlagt, stopper historien ikke der. Hverdagslige og videnskabelige problemer tvinger os til at udvid dette numeriske universFor eksempel ved vi med naturlige tal kun, hvordan man tæller og lægger sammen, men ikke hvordan man trækker fra generelt eller dividerer.

Det næste skridt er normalt at introducere heltal, som omfatter de naturlige tal og deres negative versioner: …, -2, -1, 0, 1, 2, … Historisk set kom brøker før negative tal, men fra et formelt synspunkt er det bekvemt at starte med heltal. Et heltal kan defineres som en ækvivalensklasse af par af naturlige tal (a, b), hvor vi betragter to par (a, b) og (c, d) som ækvivalente, hvis a + d = b + c. Intuitivt svarer dette til at tænke på "trække fra" fra − b, selvom subtraktion formelt set endnu ikke eksisterer inden for ℕ.

Så den rationelle talDisse svarer til de brøker, vi altid har kendt. De bruges til at måle mængder, der ikke er et helt antal enheder, såsom en halv kage, en tredjedel af en liter eller tre kvarter. Et rationelt tal repræsenteres normalt som a/b, hvor a og b er hele tal, og b ≠ 0. Formelt defineres hvert rationelt tal som en ækvivalensklasse af par (a, b), hvor b ikke er lig med nul, hvor to par (a, b) og (c, d) er ækvivalente, hvis a·d = b·cAltså, hvis de repræsenterer den samme andel.

Pythagoræerne mente, at "alt er tal" i betydningen "alt er rationelt", men denne opfattelse blev knust, da det blev opdaget, at diagonalen af ​​et kvadrat med sidelængden 1 (kvadratroden af ​​2) ikke kan skrives som en brøkdel af hele tal. Det blev senere også vist, at π og e er irrationelle talDet vil sige, de kan ikke udtrykkes som a/b med hele tal a og b.

At stringent konstruere irrationelle tal Det er lidt mere delikat. En elegant måde at gøre det på er via opkald. Dedekind skærerIdeen er at betragte visse delmængder af rationelle tal, der har en specifik øvre grænse. For eksempel kan vi tage mængden af ​​alle rationelle tal, hvis kvadrat er mindre end 2; dens naturlige "snit" er √2, hvilket ikke er rationelt. På denne måde kan hvert passende snit ses som et reelt tal, og nogle af disse snit svarer ikke til rationelle tal.

Ved at kombinere alle de rationelle tal og alle disse snit, der giver anledning til irrationelle tal, konstruerer vi mængden af reelle tal, ℝI ℝ findes alle de tal, vi bruger til at måle kontinuerte størrelser: længder, arealer, tider, hastigheder osv. Inden for de reelle tal er der stadig "indlejret" de naturlige, heltallige og rationelle tal, hver med sin specifikke fortolkning.

En hurtig gennemgang af talsystemernes historie

Spørgsmålet om tals eksistens er ikke kun abstrakt; det afspejles også i historien om, hvordan forskellige kulturer har lært at tælle og skrive mængderDe tidligste beviser for nummerering går tilbage til omkring 7000 f.Kr., med mærker og knogler, der blev brugt til at føre simple optællinger.

I det gamle Egypten, under det første dynasti, blev der udviklet et hieroglyfisk decimaltalsystem. Hver potens af ti havde sit eget symbol, og de var De grupperede elementerne i tiere.Den blev brugt til praktiske opgaver såsom at beregne skatter, opmåle landbrugsmarker eller bygge templer.

I Mesopotamien brugte sumererne og senere babylonierne et seksagesimalt nummereringssystem, dvs. basis 60Dens kompleksitet lå i det store antal symboler og mulige kombinationer, men den viste sig at være yderst effektiv til astronomi og tidtagning. Faktisk bruger vi stadig denne arv i dag i timer, minutter og sekunder.

Grækerne tog den egyptiske ti-tal som reference og udviklede et system, hvor de brugte bogstaverne i deres alfabet til at repræsentere talDet attiske system viste sig imidlertid at være ret stift og begrænsede i nogen grad udviklingen af ​​avanceret aritmetik, selvom grækerne strålede spektakulært inden for geometri og logiske beviser.

Det romerske system, som vi kender bedre, tillagde numeriske værdier til bestemte bogstaver (I, V, X, L, C, D, M). Selvom det var enklere end andre i udseende, Det var ikke positionsbestemtDette gjorde det meget besværligt at udføre komplicerede beregninger. Det er fint nok til et par datoer på en bygningsfacade; knap så meget til algebra.

Parallelt opstod et decimal- og positionssystem i Indien omkring det 5. århundrede f.Kr. I dette system afhænger værdien af ​​hvert ciffer af dets position, og ti enheder af én orden svarer til én enhed af den næste højere orden. Dette system, som eksplicit inkorporerede nul som et talDet viste sig at være utrolig kraftfuldt og praktisk.

Araberne, i kontakt med kulturer som hinduisme, græsk og egyptisk, adopterede og spredte dette decimalsystem. Selvom vi taler om "arabiske tal", har vi i virkeligheden Dens oprindelse er i IndienDet var de islamiske folk, der overførte det til Europa, blandt andet gennem Al-Andalus. Med tiden erstattede dette system romertal og blev verdensstandarden.

I det præcolumbianske Amerika udviklede mayaernes civilisation et ekstraordinært avanceret numerisk system, baseret på 20 og også positionssystemer. Desuden genkendte de eksplicit nul. De repræsenterede tal ved at kombinere prikker og streger: prikker for enheder og søjler til gruppering efter femmere. Hans håndtering af kalender og astronomi var forbløffende præcis.

Hele denne historiske oversigt forstærker ideen om, at selvom former og regler ændrer sig, Behovet for at tælle, måle og ordne verden er universelt.Tal, i deres forskellige inkarnationer, synes at dukke op igen og igen, uanset hvor der er en civilisation, der ønsker at organisere sin oplevelse af miljøet.

Systemets begrænsninger: Gödel og troen på matematikken

I slutningen af ​​det 19. og begyndelsen af ​​det 20. århundrede søgte mange matematikere at gøre matematik til en en fuldstændig solid bygning, fri for modsætningerIdeen var at finde et endeligt sæt af grundlæggende aksiomer, hvorfra alle andre matematiske resultater kunne udledes ved hjælp af ren logik.

Personer som Henri Poincaré var skeptiske og så denne ambition som uopnåelig, mens andre, anført af david hilbertDe var overbeviste om, at et perfekt aksiomatisk system kunne opnås for aritmetik og i forlængelse heraf for resten af ​​matematikkens grene.

Så dukkede Kurt Gödel op og beviste to sætninger, der ændrede landskabet for altid. Den første fastslår, stærkt forenklet, at i ethvert system, der er stærkt nok til at inkludere grundlæggende aritmetik (for eksempel Peano-aksiomer), vil der altid være sande udsagn, der ikke kan bevises inden for selve systemet. Med andre ord: aritmetik kan ikke være både fuldstændig og konsistent.

Gödels anden sætning er endnu mere foruroligende: den viser, at hvis et aksiomatisk system som det aritmetiske er konsistent (ikke har nogen modsigelser), så Denne konsistens kan ikke påvises indefra selve systemet.Hvis nogen skulle bevise, at der ikke er nogen modsætninger i aritmetik ved udelukkende at bruge dens aksiomer og regler, ville det paradoksalt nok betyde, at systemet ikke var sammenhængende.

Disse konklusioner er undertiden blevet fortolket som en slags "kosmisk joke": hvis vi i så høj grad er afhængige af matematik som det ultimative værktøj til viden, må vi i en vis forstand acceptere, at Vi må også tro på noget, som vi ikke kan bevise inden for selve den matematiske ramme."Eksistensen" af et rimeligt aritmetisk system uden modsigelser kræver en minimal troshandling.

Når vi lægger hele denne rejse sammen – fra symbolerne og Ishango-knoglen, gennem Egypten, Babylon, Indien og mayaerne, til mængdelære, Peanos aksiomer, de formelle konstruktioner af de forskellige taltyper og Gödels sætninger – ser vi, at tal samtidig er, menneskelige værktøjer og overraskende robuste strukturerVi kan diskutere, om de "eksisterer" som abstrakte enheder eller som sofistikerede konventioner, men det er tydeligt, at de former vores forståelse af universet og på en eller anden måde overskrider os: selv hvis vi skulle forsvinde, er det svært at forestille sig et kosmos, hvor 1 + 1 ikke længere ville være 2.